机器学习数学之凸集，仿射集 - 机器学习之数学

一、

仿射集（Affine Sets）：如果一个集合C∈R是仿射的，则在C中两点的直线也在C中，若x1∈C,x2∈C,则x=θx1+(1−θ)x2 ∈C,θ∈R，例如Ax=b的解集就是一个仿射集。

凸集：如果集合C∈R是凸集，如果C中两点间的线段也在C中，即x=θx1+(1−θ)x2 ∈C,θ∈[0,1] 。注意θ 取值范围的不同。

凸集和仿射集区别：θ 取值范围

1、空集、点、整个空间都是仿射（affine），因此也是凸（convex）

2、任意线是仿射（affine），若过原点，则为凸锥（convex cone）

3、线段是凸（convex），但不是仿射

5、任意子空间是仿射和凸锥

6、超平面是仿射集（affine set）

7、半平面是凸集（convex set）

8、球体和椭圆体是凸集

9、Norm ball 和norm cone是凸锥

10、多面体（polyhedra）是凸集

二、常见凸集几何图形

立方体是凸集，但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集。

在凸几何中，凸集(convex set)是在凸组合下闭合的仿射空间的子集

1、凸集

2、非凸集

三、凸集的性质：

凸集的交集是凸集。

凸集的并集不一定是凸集。

.....